Session normale 2006

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soit la fonction `g` définie par `g(x)= e^(-x) +x-1`

1) Calculer `g'(x)` , puis en déduire qu'elle est croissant sur `R^+` est décroissante sur `R^-`

2) Montrer que `forall x in R : g(x) >= 0 ` , puis en déduire que `forall x in R e^(-x)+x >= 1 `

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on considère la fonction `f` définie par `f(x) = x/{x+e^(-x)}`

1) Montrer que `D_f = R`

2) Montrer que `lim_{ x to + infty } f(x) = 1 ` et `lim_{ x to -infty} f(x) = 0 ` et donner l'interprétation graphique des résultats obtenus

3) a) Montrer que `forall x in R : f'(x) = {(x+1)e^(-x)}/{(x+e^(-x))^2}`

b) étudier le signe de `f'(x)`

c) Dresser le tableau des variations de `f`

4) a) Donner l equation de la tangente de `C_f` en `O(0,0 )`

b) Vérifier que `x-f(x)= {xg(x)}/{g(x)+1}` , puis etudier son signe

c) Etudier la position de `C_f` par rapport à la droite d’équation `Delta : y=x`

5) Tracer la courbe `C_f` et la droite ` Delta`

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Partie III

soit la suite numérique `(u_n)` définei par `u_0= 1 ` et `forall n in N : u_{n+1} = f(u_n)`

a) Montrer par recurrence que ` forall n in N : 0 <= u_n <= 1 `

b) Montrer que `(u_n)` est décroissante puis en déduire qu'elle est convergente

c) Calculer `lim_{ n to + infty } u_ n `